来自: 2014-01-16 玉伯 WTP

在计算机中,为什么 -1 要用补码表示为 1111 ?

首先要了解 CPU 的基本单元 ALU 模块. 在 ALU 里,加法是最基本的运算. 通过程序,乘法可以转换为加分,除法可以转换为减法. 补码表示,则可以让减法直接转换为加法. 这样,ALU 核心只需要加法器就好,加法器可以通过集成电路中的晶体管来实现.

要将减法转换为加法,在数学公式里,只要加一个括号即可:

X - Y = X + (-Y)

在 CPU 里,如果想让加法器具备减法功能,核心是负数如何表示.

原码

大自然赐予了我们硅,硅是很稳定的半导体,通过 PN 结等精细工艺,可以做成各种晶体管. 在晶体管的世界里,基本状态只有 on 和 off 两种,也就是只有

1 和 0. 于是,在计算机里,我们采用二进制来表示整数.

这样,最自然的想法是,对于正整数来说,直接从十进制转换成二进制就好. 比如 1 用 0001 来表示,2 用 0010 来表示.

负整数怎么来表示呢?增加一个符号位来表示?比如二进制的最高位为 0 时表示正数,为 1 时则表示负数.

这样,-1 用 1001 表示,-2 用 1010 表示. 这就是原码的概念.

在原码的表示里:

1 - 1 = 1 + (-1) = 0001 + 1001 = 1010 = -2

显然,原码表示法,不能把减法变成加法,悲催.

补码

据说,所有科学问题,最后都是数学问题,而所有数学问题,最后都离不开哲学.

哲学太深奥了,我们来看看从数学上,如何把 X + (-Y) 转换成二进制相加.

我们希望有某种表示方法,使得 1 + (-1) = 0000 现在 1 用 0001 来表示,-1 应该怎么表示?

-1  = 0000 - 0001

    = 10000 - 0001  (高位借一)

    = (1111 + 0001) - 0001

    = (1111 - 0001) + 0001(第一步:取反)

    = 1110 + 0001(第二步:加一)

    = 1111

也就是说,如果 -1 用 1111 来表示,则 1 + (-1) 的二进制表示通过加法就能进行减法操作,达成了我们最初的目的.

进一步,针对所有负整数:

-Y = 0000 - Y

     = (1111 + 1 ) - Y

     = (1111 - Y) + 1   将正整数 Y 的二进制先取反,再加一

整数转换成二进制后,先取反,再加一,这就是负整数的补码表示. 正整数的补码跟原码一样.

到此为止,补码的前世今生就说完了,但还有些有意思的事情.

简单之美

可以说,补码的出现,是为了能让 ALU 在设计时更简单:只需要加法电路就好,不需要减法电路. 追求简单,极致的简单,这能给性能,工业化等带来很大价值.

再从数学上来看,整数遵循一些很容易被我们忽略的重要规律:

1. 数轴上,左边的数永远小于右边的数. 比如 -8 < -2 < 0 < 3 < 5
2. 数轴上,只有一个零. 
3. 相邻整数之间相差一. 

来看补码表示:

1000    -8
1001    -7
1010    -6
1011    -5
1100    -4
1101    -3
1110    -2
1111    -1
0000     0
0001     1
0010     2
0011     3
0100     4
0101     5
0110     6
0111     7
1000     8

1. 只看负数的补码表示,明显 1000 < 1001,补码表示下,左边的负数很自然小于右边的负数.

2. 很明显只有一个零,就是 0000,不存在 -0 跟 0 的表示不一样.

3. 再看相邻整数之间,左边的整数加一,就是右边的整数,包括 1111 + 1 = 0000 .

初看补码,有些怪异,不直观,但在二进制的世界里,补码是如此自然. 第一个想出用补码来表示整数的人,真是个天才啊.

(完)

题图:世界有 10 种人:一种懂二进制,一种不懂.

是也乎

补码,其实就是最经典的工程思维指导数学解决实际问题的案例, 事实上,在计算机发展历史上, 有很长的时间人们试图使用自然的10进制计算机的, 甚至于在前苏联竟然折腾出了据说是工作效能不低的三进制计算机!!!

但是,人类这种生物天生是好逸恶劳的, 所以,总是简洁的方案,体系,理论,工程,最后胜出… 所以,慢慢的,计算机世界,二进制成为了主流…

当然,任何长期博弈出来的事儿,都是细思恐极的事儿! 补码这事儿,追到根儿上是个硬件的物理特性的事儿, 其实,互联网发展到现在,大家死磕的,的确依然是那几种物理特性, 但是,下一代计算硬件体系出来后,可能整个儿编程思想就得升级了, 怎么升/乍兼容… 是未来工程师和程序员共同折腾的是也乎!

巡阅

• 150113 Zoom.Quiet checked